بطلمیوس مدار سیارات زهره و عطارد
یکی از مهم ترین اثر های بطلمیوس این دانشمند یونانی کتاب المجسطی میباشد که همچنین در آن به بررسی مدارات دو سیاره ی زهره و عطارد پرداخته است حال ما باتوجه به مشاهدات و بررسی ها بطلمیوس به بررسی میزان دقت و صحت مطالعات بطلمیوس میپردازیم.
اگر چه بطلمیوس در رساله ی نهم و دهم که منبع به بررسی این مشاهدات در کتاب المجسطی مدار دو سیاره از سیارات منظومه ی شمسی یعنی سیاره ی عطارد و زهره پرداخته است ولی ما هم میخواهیم با کمک مشاهدات بطلمیوس و دقتی که در ثبت این وقایع بکار برده شده است بار دیگر آن ها را مطالعه کنیم و در عین حال از اشتباهاتی که بطلمیوس در ثبت مشاهدات خود داشته است مطلع گردیم و تا حد امکان آن ها را به شیوه ای صحیح مورد بررسی قرار دهیم.
در اینجا لازم بذکر است که گفته شود این متن در واقع برگردان متن اصلی نگاشته های بطلمیوس از زبان یونانی به زبان آلمانی است که برای اولین بار توسط انتشارات ( بی جی تویبنِر که با همکاری یوهان لودویش هایبرگ مورخ دانمارکی که او نیز همچنین به مطالعه ی آثار ریاضی دانان عهد عتیق مثل بطلمیوس و ارشمیدس اقتباس گرفته شده است)
بطلمیوس، آنگونه که مشخص و روشن است به نظریه ی زمین مرکزی اعتقاد داشته است پس در واقع رفتار حرکتی سیارات را برای خود این گونه تعریف کرده بود که:
سیارات در مدار هایی دوار و یا به شکل دایره گونه ای به دور خود در حال گردش هستند البته با در نظر گرفتن این نکته که حرکت این سیارات به دور خود همزمان با توجه به اینکه زمین در مرکز عالم هست مطرح شده است پس باید حرکت این اجرام علوه بر دور خود به دور مرکز عالم نیز در نظر داشت بنوعی نباید از تصور نظریه ی زمین مرکزی دور شد.
حال برای اینکه تعریف واضح و روشنی از این مفهوم بدست بیاوریم میپردازیم به بررسی این نظریه از تعریف بطلمیوس.
باید گفت کهاگر ما سیستم گردش مداری که بطلمیوس برای سیارات تعریف کرده است را بپذیریم در واقع نوعی سردرگمی باتوجه ه نظام زمین مرکزی بوجود میآید که ما در این جا آن ها را با عنوان:
Y: زمان گردش یکساله نجومی زمین
و
X: همین مقدار اما این بار در نقایسه با سیاره ی زهره
به تصویر شماره ی یک توجه کنین!
در تصویر شماره ی یک نمایی از مدار سیارات زهره و زمین که یصورت دایره وار مشخص شده اند دیده میشوند. اما در مورد این تصویر باید گفته شود که در تصویر ما موقیعت برخی از اجرام را با حروفی نماد گذاری کرده ایم توجه کنین:
S: در مرکز خورشید قرار گرفته است بیانگر موقعیت خورشید نسبت به دو جرم زمین و سیاره ی زهره است.
V1: موقعیت سیاره ی زهره نسبت به سیاره ی زمین و همچنین با توجه به مرکز تصویر که همانگونه که گفته شد خورشید است، همچنین باید در نظر داشته باشین که این شماره گذاری ها در این نماد ها بیانگر موقعیت مداری سیاره ی زهره است.
E1: در تصویر شماره ی زمین را با این نماد مشخص کرده ایم
در تصویر شماره ی یک موقعیت مداری این دوسیاره را با توجه به خورشید و نسبت به یک دیگر در دو موقعیت شماره ی یک و دو بررسی کرده ایم.
برای دقت بیشتر در این امر به تصویر شماره ی یک رجوع میکنیم اگر دقت کنین متوجه میشوین که مدار این دو سیاره در دو جایگاه هم نسبت به خورشید هم نسبت به هم تغییر کرده اند. در واقع خواسته ایم زاویه ی کشیدیگی مداری این دو جرم را بنوعی مشخص کنیم.
پس از این که مفهوم این نماد ها را مشخص کردیم نوبت به آن رسیده است که به بررسی و محاسبه ی این نماد ها بپردازیم.
لزم بذکر این نکته هست که ما دوره تناوب زمین رو با حرف:
J: دوره ی حرکت تناوبی سیاره ی زمین یعنی 365 در نظر گرفته ایم
باید گفته شود که معیار و نتیجه ی مطالعه ی ما در این معامله در واقع براساس معیار روز است.
حال اگر اینگونه تصور کنیم که برای مثال در مدت
روز زمین دارای زاویه ی Y
360
✕ 
به این معنا که اگر زمین با توجه به معامله ی بالا در این مقیاس مسافتی را طی کند حال همین مقدار را برای سیاره ی زهره نیز مفرض میگیریم با زاویه ی
. 360
در این دو مقداری که برای دو سیاره ی زمین و زهره در نظر گرفته ایم مقدار مسفوت طی شده ای که این دو سیاره در مدار خود طی کرده این را یکسان دانسته ایم.
حال این نتیجه بدست میآوریم:
360
= 360
- 360
و یا میتونیم به ای حالت نیز مفروض بگیریم:
- - =
همانطور که پیشتر گفته شد ما مفاهیم را توضیح دادیم و بیان کردیم که این نماد ها بیانگر چه وضعیتی هستند بنابر این از ذکر مجدد این مفاهیم خودداری میکنیم.
در مطالعه و بررسی کتاب المجسطی به این نکته پی برده میشود که بطلمیوس مشاهدات خود را حقیقتاً در برخی از موارد از دانشمندان هم عصر خود نیز وام گرفته است برای مثال بطلمیوس در فصل چهارم رساله ی دهم خود از مشاهدات منجم یونانی هم دوره ی خود یعنی تیموخارِس بهره گرفته است چرا که تیمو خارس نیز به مشاهده ی وضعیت مداری سیاره زهره نسبت به دیگر اجرام پرداخته است.
این مشاهدات را تیموخارِس در سال 272 قبل از میلاد بدست آورده بود.
اما آنچه که تیمو خارِس بیان کرده است نیز جالب توجه است
تیموخارس در مطالعات خود آورده است که سیاره ی زهره در سال 409 (البته به تقویم مصری که 365 روز داشته است و سال کبیسه نبوده است که باعث بروز اشتباه شود) مقدار گردش مداری سیاره ی زهره را برا بر با 167 روز و گردش انتقالی زهره را براساس معامله ی
255+z
تمام دوران دوران مداری خود را طی این مقدار روز طی کرده است.
البته با احتساب این نکته که مقدار:
Z=
از این رو میشود بعبارتی برابر با:
Y=
حال براساس معدله بدست میاوریم:
- X =
در نظر داشته باشین که اگر این مقدار ذیل را برابر با:
j=365,242 براساس معیار سال گرمسیری یا اِستوایی قرار دهیم
مقدار اِکس برابر است با مقدار دوره ی تناوبی سیاره زهره که میشود به عبارتی:
X = 224,697 روز
پس ما مقدار گردش تناوبی این دوسیاره را بنوعی مشخص کردیم.
اما ما فقط به این امر بسنده نکردیم و برای این که صحت و دقت بررسی بطلمیوس را بدست بیاوریم به رجوعی کردیم به آرشیویی که در مورد گردش مداری و یا انتقالی سیاره ی زهره از سال 1954 موجود است نتیجه ی بدست آمده بسیار جالب و نشان دهنده ی این است که میزان دقت بطلمیوس تا چه حد بوده است.
براساس اسناد سال 1954 گردش تناوبی سیاره ی زهره برابر بوده است:
گردش تناوبی دقیق سیاره زهره
224,7008 روز
اما آنچه که امروزه معقول و مرسوم است برابر است با:
گردش تناوبی سیاره ی زهره آنچه که مرسوم است در سیسیتم های نوشتاری:
224,692 روز
اما بررسی های بطلمیوس این مقدار را حد فاصل دو مقدار تعداد روزبرابر با:
224,692
224,697
با مقایسه ی این مقادیر مشخص میشود که از زمان بطلمیوس تا کنون این مقدار تغیراتی نیز داشته است که برابر است با:
0,005
یا بنوعی میتوان گفت که این بررسی دارای تغییری به مقدار 8 دقیقه بوده است.
اگر بخواهیم موضوع را بیشتر توضیح دهیم باید گفت که نیم محور بزرگ سیاره ی زهره برابر است امروزه با:
0,723332
در نظر داشته باشید که منظور از نیم محور بزرگ سیاره بنوعی بخش بزرگ و کشیده تر مدار سیاره ی زهره محسوب میشود.
حال همین مقدار در مورد سیاره ی زمین یعنی نیم محور بزرگ سیاره ی زمین برابر است با:
0,723343
میتوان گفت که امروزه با بررسی هایی که انجام شده است این مقدار نیم محور بزرگ تغییر چندانی نداشته است.
لازم به ذکر میباشد که معیار ما در بررسی دورهی تناوب مداری سیاره ی زهره برابر است با:
224,69 روز
و همچنین مقدار محاسبه شده ی نیم محور مداری سیاره برابر است با:
0,72333
البته در زمانی که هدف محاسبه ی ما در مقایسه با همین داده ها نسبت به سیاره ی زمین باشد.
بررسی مشاهدات نه گانه ی بطلمیوس از حرکت و وضعیت سیاره ی زهره:
بطلمیوس در رساله ی دهم کتاب خود المجسطی مشاهدات نه گانه ای را بیان کرده است که ما در جدولی که در ذیل آمده است به مشاهده و بررسی آن پرداخته ایم.
لازم بذکر است که تا مشاهده ی شماره ی سوم را بطلمیوس از تئون دانشمند معاصر زمان خود وام گرفته است. الباقی تمام این مشاهدات را شخصاً خود بطلمیوس انجام داده است. در این تقسیم بندی تقویمی که برای ثبت زمان مشاهدات انجام گرفته استفاده شده است تقویم پادشاهان رومی و تقویم قبطی است.
همچنین باید گفت که این مشاهدات را باتوجه به بیشترین کشیدگی و یا گریز مداری سیاره ی زهره نسبت به خورشید انجام گرفته شده است.
برای درک بیشتر بیان میدارم اینجا برای مثال:
اولین مشاهده که توسط خود تئون انجام شده است بیان میکند که در این شب یعنی 21 الی 22 ماه آثور از تقویم قبطی مصری برابر به سال 12 پادشاهی هادریانوس زمانی که خورشید در دایره البروج در صورت فلکی ترازو قرار داشته است با موقعیت:
در مختصات طول جغرافیایی:
19752´
در این موقعیت سیاره ی زهره در بلند ترین فاصله ی مداری خود نسبت به خورشید قرار دارد یعنی در موقعیت:
ودر مسیر دایره البروج در صورت فلکی سنبله قرار دارد در مختصات:
0,20´
بعبارتی طول مداری خورشیدی آن برابر بوده است:
15020‘
حال میتونیم به مطالعه ی تمامی این مشاهدات که در کنار هم در جدول شماره ی یک آورده شده اند بپردازیم.
تاریخ
درازای مداری خورشید در مسیر دایره البروج
درازای مداری سیاره ی زهره
روز 21 الی 22 ماه آثور دوازدهمین سال پادشاهی هادریانوس
زمان مشاهده: صبح
میزان
1752´=19752´
سنبله
020´ = 15020´
روز 2 الی 3 ماه افیفی
سیزدهمین سال پادشاهی هادریانوس
هنگام صبح
ثور
2524´=5524´
حمل
1036´=1036´
روز 20 الی 21 ماه فارموتی شانزدهمین سال پادشاهی هادریانوس
هنگاهم عصر
ماهی
1415´=34415´
ثور
130´= 3130´
روز 2 الی 3 ماه فارموتی سال هجدهم پادشاهی هادریانوس
هنگام صبح
دلو
2530´=32530´
جدی
1155´= 28155´
روز 2 الی 3 ماه توبی سال بیست و یکم پادشاهی هادریانوس
هنگام عصر
عقرب
2530´=23530´
جدی
1250´= 28230´
روز 9 الی 10 ماه ماه امشیر سال بیست و یکم پادشاهی هادریانوس
هنگام عصر
جدی
24´= 2724´
دلو
1936´= 319
29 الی 30 توبی سال دوم پادشاهی آنتیانوس
هنگام صبح
قوس
229´= 2629´
عقرب
6
= 216
روز 4 الی 5 ماه فارموتی سال سوم پادشاهی آنتونیوس هنگام عصر
دلو
2530´= 32530´
حمل
1350´= 13
روز 11 الی 12 ماه توث از سال 14 پادشاهی آنتونیوس
هنگام صبح
شیر
545´= 12545´
دوقلو
1830´=78
قبل از اینکه نگاهی به پیرامون این جدول بیاندازیم متوجه خواهیم شد که تمایل مداری سیاره ی زهره در تقابل با دایره البروج با مقدار:
3
بدون تردید این میزان کاملاً ملموس هست.
و لازم به ذکر هست که منظور از تمایل مداری سیاره ی زهره در واقع تمایل مداری نسبت به محور دایره البروج میباشد.
اما باید در نظر داشت که اگر این مقدار مذکور دا در نظر نگیریم و یا بنوعی نادیده بشمریماین مقدار برای ما بدست میآید:
= 0,0008809
مقدار بالا برابر است با :
3´2´´
بنابراین از لحاظ مقیاس زمانی برابر است با 45 دقیقه
پس میتونیم نتیجه بگیریم که در این بین در هنگام محاسبه ی زمانی فاصله ی 2 مشاهده میتواند در شرایط نامطلوب برابر با شد با:
ساعت
اما این نکته را در نظر داشته باشید که بدلیل اینکه بطلمیوس اغلب مشاهدات خود را همان طور که در جدول به چشم میخورد بطلمیوس غالباً در بازه های زمانی صبح و غروب ثبت کرده است که این امر باعث میشود خطا در محاسبات به حداقل کاهش پیدا کند.
به تصویر شماره ی دوم دقت کنید آنچه در تصویر شماره ی دوم بهچشم میخورد در واقع مشاهدات اولیه ی بطلمیوس است که در اینجا لازم است بگوییم که بیرونی ترین محور دوّار درواقع مدار سیاره ی زمین است.
مدار داخلی نشان گر مدار سیاره ی زهره است .
و حرف "کیو" در واقع مرکز این دوجرم قرار دارد خورشید است که این دو جرم یعنی خورشید و زهره به دور آن در حال گردش هستند.
این مدار ها درواقع تقریباً بیضی شکل هستند اما ما در اینجا آن ها را به شکل دوار ترسیم کرده ایم.
جایگاه دایره البروج در این تصویر و یا مسیر حرکت ظاهری سالانه ی خورشید نسبت به زمین برروی کره ی سماوی بعنوان یک دایره باشعاع بی نهایت است که با شعاع کانون این محور هم همان حرف" کیو" یا بنوعی خورشید است.
در تکمیل این تصویر فرضی از موقعیت این اجرام میتوان گفت که صور فلکی حمل سرطان میزان جدی برروی این تصویر با عنوان محور دایره البروج قید شده اند.
حال اگر موقعیت فعلی زمین را موقعیت:
E
درنظر بگیریم، بدین ترتیب موقعیت خورشید در صورت فلکی میزان برابر است با:
همچنین اگر موقعیت فرضی و فعلی سیاره ی زهره را در موقعیت:
T
درنظر بگیریم بدین ترتیب این مقدار برابر است با:
از آنجایی که سیاره ی زهره در زمان مشاهده بیشترین فاصله از خورشید را دارد خط راست:
ET
دقیقاً مماس با مدار سیاره ی زهره است.
ام همانگونه که قبلاً نیز مطرح کردیم این مدار بشکل بیضی گونه است و نه دایره ولی به هر صورت به تصویر نمیتوان مشکلی وارد کرد.
اما یک نقطه ی دیگر هم جود دارد که در تصویر شماره ی دوم به آن اشاره نشده است وآن نقطه ی:
U
میباشد ولی در تصویر دیده نمیشود که بیانگر این است که سیاره در نقطه ی حضیض قرار دارد.
همچنین خط عمدی که در تصویر شماره ی دوم هست یعنی خط " تی " از " کیو " روی تانژانت قرار دارد مصادف و یا مماس نیست.
در این تصویر ما " کیو" را بعنوان مبدا مختصات خود در نظر میگیریم:
Q = مبدا مختصات برج حمل که بعنوان محور اِکس در نظر داریم
Q = برج عقرب بعنوان محور " وای"
X= نقطه ی حضیض مداری سیاره ی زمین
براساس مشاهدات ثبت شده ی بطلمیوس در تعیین موقعیت خورشید نسبت به مدار دایره البروج مقدار:
بیان کرده است.
حال اگر ما همین مشخصات را در سیستم خورشید مرکزی منتقل کنیم، بدست میآوریم که نقطه ی اوج مداری سیاره ی زمین با توجه به دایره البروج برابر است با:
حال این مقیاس احتمالی را بجایش از مقدار:
استفاده میکنیم.
پس نتیجه گیری ما از تصویر شماره ی دوم برابر است با محور:
یعنی ما از این تصویر این محور یعنی برج حمل را در دایره البروج در نظر میگیریم.
همچنین لازم بذکر است که: ما در واقع در تصویر شماره ی دوم مختصات ذیل را بروی صورت فلکی حمل مفروض گرفته ایم:
حال به کمک معادله ی قطبی ذیل به بررسی مدار زمین پرداخته ایم:
ابتدا لازم است که در اینجا کمی این محاسبه را واضح تر کنیم.
در معامله ای که در بالا قرار گرفته بود لازم ما با مفهوم:
جایی که مفهوم بالا را داریم در واقع برابر با مقدار:
که در واقع بیانگر مقدار یا عدد گریز از مرکز کره ی زمین و:
برابر است با مقدار:
که همچنین نشان گر کاهش طول مداری خورشید است.
برای مفهوم:
مقداری برابر با:
و همچنین مقدار:
پس اینگونه بدست می آید که:
= 
پس نتیجه میگیریم:
حال به بررسی مشاهدات نه گانه ی بطلمیوس میپردازیم با توجه به تعاریفی که پیشتر از مفاهیم مختلف ارایه دادیم:
1 + 
همچنین مختصات " تی" برابر است با:
حرف ب در واقع بازتابی از نقطه ی " کیو" است با در نظر گرفتن خط " ای تی "
پس مختصات ما عبارت است از:
محاسبه ی مقدار:
ET: 
و همچنین طول مدار " تی و بی برابر است با:
´
در واقع با در نظر گرفتن نه مشاهده ی قبلی نقاط:
E,T,B
را بررسی میکنیم.
بدین ترتیب باتوجه به مشاهده ی دوم یعنی تصویر سوم این نتیجه بدست می آید که:
موقعیت "تی 2 " برابر با:
موقعیت " بی 2 " برابر است با:
حاصل
حاصل معادله ی:
= 
و همچنین
مشاهده ی سوم ( تصویر چهارم)
در شکل شماره ی سوم مقادیر برابر هستند با:
و همچنین مقدار محاسبه شده ی :
مشاهده ی چهارم:
تصویر پنجم
همچنین مفاهیم ذیل را برابر میدانیم با:
مقدار محاسبه شده ی برابر با
T4 = 19155´
مشاهده ی شماره ی 5 تصویر ششم
QT5 = QE5 . cos 4240´ = 0,7211
مقدار محاسبه شده برای:
مشاهده ی ششم تصویر شماره ی 7
مختصات:
مقدار محاسبه شده برای:
مشاهده ی هفتم تصویر شماره ی 8
مختصات ها عبارتند از:
مقدار محاسبه شده برای:
E7 T7: 
مشاهده ی هشتم تصویر شماره ی نهم:
QT8 = QE 8 
مختصات موقعیت :
T8: x = - 0,1769, y = 0,7187
B8: x = - 0,3538, y = 1,4374
مقایسه ی ( ای 8 و تی 8)
E8 T8: y = 0,2462x + 0,7620
T8 = 10350´
نهمین مشاهده تصویر 10:
QE9 = 
QT9 = QE 9 sin 47
موقعیت تی 9
T9: x = 0,7248, y= - 0,1465
موقعیت بی 9
B9: x = 1,4496, y = -0,2930
مقایسه ی این دو موقعیت
E9 T9: y = 4,915x – 3,7089
T9 = 34830´
حال نوبت به این امر رسیده است که مدار سیاره زهره را از ناحیه و یا به عبارتی نقطه ی اف که به نوعی کانون دوم هم محسوب میشود بررسی کرد.
حال میپردازیم به نقطه ی کانونی شماره ی دوم البته بررسی این نقطه ی کانونی را نیز با کمک مدار سیاره ی زهره لحاظ میکنیم.
بر همین اساس اصلی نیز وجود دارد که میگوید:
نقطه ی بازتابی تصاویری که بروی یک کانون در واقع بازتاب تصویر بازتاب شده ی یک نقطه ی کانونی یک با تصور اینکه بروی یک مدار بیضی شکل قرار دارند درباره ی تمامی تانژانت های برروی سیستیمی دایره وار قرار دارند که کانون آن بعبارتی نقطه ی کانونی دیگری و شعاع آن برابر است با محور بزرگ شکل بیضی.
نقطه:
B
اما در اینجا ودر این تصاویر یاد شده بیانگر کانون یا نقطه ی:
Q
هستند. پس بنابراین این امر لازم میشود که دقیق تر با اندازه گیری دقیق تر بروی نقطه ی دقیقی که بر اساس و پایه مشاهدات دقیق انجام شده است جای گذاری کرد که منظور این نقطه ی دقیق اینجا شکل دوار یا دایره کل که مرکز این نقطه ی مورد بحث هم همچینین نقطه ی اف هست که بنوعی دیگر کانون شکل بیضی نیز محسوب میشود.
اما باید در این میان این نکته را نظر گرفت که چون این مشاهدات با دقت صورت نگرفته و در آن ها مقداری عدم دقت میخورد دقت به چشم میخورد نمیشود از آن ها انتظار داشت که محاسبات بدست آمده نیز از آنها نیز بنوعی درست باشند.
به تصویر شماره ی 11 دقت کنید در این تصویر وضعیتی شرح داده شده است که شما در آن هستید یعنی اگر بخواهیم دقیق تر بیان کنیم مقدار اندازه گیری شده شماره ی یک مدار زمین منظور است. با مقدار:
سانتی متر مشخص شده است.
تمامی نقاطی که در تصویر مشخص شده هستند که با معیار های:
مشخص شده اند را با مقدار در واقع نیم محور زمین برابر با:
درنظر گرفته ایم. این مقیاس ها بطوری قرار گرفته اند که دیده میشوند که بروی دایره دیده میشوند.
مرکز نقطه ی اف این دایره که میخواهیم مدار سیاره ی زهره را نیز بر این اساس محاسبه کنیم مقیاس معادل با:
0,004918
دارد و نقطه ی کیو فاصله یا مقیاس برابر با :
0,009836
که با مقیاس انتخاب شده ی ما مقدار 327 میلی متر تفاوت دارد.
در نتیجه در این موارد بیشتر هم خواهد بود اما لازم بذکر است که محدودیت تصویر برای این است که نمیتوانستیم این مقیاس را در تصویر جدا از کیو بدانیم.
بر همین اساس مقدار محاسبه شده ی محل یا وضعیت نقطه ی اف را نمیتوان خیلی دقیق بیان کرد.
چاره ی دیگر برای رسیدن به یقیین در این مورد این است که پیدا کردن محل دقیق موقعیت کیو چاره ای دیگری پیدا کنیم.
در سال 1930 مقدار اوج مداری سیاره زهره برابر بوده است با:
13035´
همچنین در سال 1900 بر اساس محاسبات نیو کومب این مقدار برابر با:
130
ثانیه بوده است.
بنابراین اینجا این نکته بدست می آید که این آمار این مشاهدات در سال 130 یعنی در زمانی که بطلمیوس این مشاهدات را انجام داده است برابر با :
105
باید بوده باشد.
پس اگر اینگونه بوده باشد مقدار عددی استخراج شده مدار سیاره ی زهره که امروزه نیز بنوعی احتمالی و بنوعی قابل تغییر است برابر است با مقدار:
E= 
مقدار انحراف مداری برابر:
2e=009836
در نتیجه پذیرفته میشود
و مقدار محاسبه شده اف برابر:
و یا
0,0095.
این مختصات های داده شده ی بالا را برای محاسبه مقدار های اف بی یک و اف بی 2 و الی آخر استفاده میکنیم که این مقدار بدست میآید.
اگر مقدار های محاسبه شده ای را که ما آن ها را به ترتیب اف بی یک اف بی 2 ........با هم جمع میکنیم مقدار
13,035
بدست میآیند بدین ترتیب میانگین:
FB= 1,448
که این در اینجا بیانگر این است که که بزرگترین مقدار محاسبه شده ی مدار سیاره زهره برابر است با:
2a = 1,44666.
که اگر این مقادیر را زیر نظر بگیریم متوجه میشویم که میزان کمی اختلاف در این محاسبات به اندازه ی :
0,09
وجود دارد.
در اینجا فقط میتوانیم اختلافات این مشاهدات را تاییذد و تصدیق کنیم و همچنین بپذیریم که نقطه ی اف مختصاتی برابر با:
در شکل 12 البته باید در این مورد خاطر نشان خاطر نشان کرد بخاطر این که نمی توان در این جا مقیاس واقعی را بنوعی پیاده سازی کرد نقطه های کیو و اف را دوباره بعنوان نقاط مرکزی مدار بیضوی شکل زهره در نظر گرفته ایم. در این جا نقطه وی نشان گر برج حمل است.
بی یک همان تعاریف قبلی هست که پیش تر در مورد آن صحبت شد یو یک موقعیت سیاره ی زهره است. که در این مدار همچنین تانژانت قرار دارد که خط عمودی که بر مدار کیو و یو یک قرار دارد تی یک را اتصال می دهد.
پس بنابراین اساس محور های ب یک او و اف بروی یک خط قرار دارند.
نقطه یک نقطه ی اوج است البته با توجه به شکل ما و نقطه ی پی درواقع نقطه ی حضیض مداری سیاره ی زهره است.
زاویه ی سه نقطه ی پی کیو وی برابر است با
اکنون مختصات مدار نقطه ی بی یک برابر است با:
اکنون مختصات نقطه ی بی یک برابر است با
X=0,7114
Y = 1,2488
همچنین معادله ی بی یک اف
Y = 16815 x – 0,0138
اما میدانیم که مختصات نقطه ی:
E1 T1: y= - 0,5696 + 0,8495.
بنابراین مختصات نقطه ی او یک برابر است با
X = 0,3835
Y= 0,6311
زاویه ی او یک کیو وی را با:
نشان میدهیم که مقدار آن از معادله ی ذیل برابر است با:
